Cswiki.cz

Plocha



Tento článek je o geometrické ploše. O virtuální ploše v počítači pojednává článek Plocha (operační systém).

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Obsah


Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

\({\displaystyle F(x,y,z)=0}\),

kde \({\displaystyle F}\) je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce \({\displaystyle F}\) má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

\({\displaystyle F(x,y,z)=0}\)

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

\({\displaystyle x=x(u,v)}\)
\({\displaystyle y=y(u,v)}\)
\({\displaystyle z=z(u,v)}\)

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž \({\displaystyle u,v}\) jsou parametry plochy. Každou dvojici \({\displaystyle u,v}\) z určitého oboru \({\displaystyle \Omega }\) nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na \({\displaystyle \Omega }\) spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle \({\displaystyle u}\) a \({\displaystyle v}\).

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

\({\displaystyle z=f(x,y)}\),

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.


Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy \({\displaystyle \mathbf {n} }\), rádiusvektorem \({\displaystyle \mathbf {r} }\) a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou \({\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)}\) uvést v různých tvarech.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů \({\displaystyle \mathbf {n} }\) a \({\displaystyle \mathbf {r} }\).

\({\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}={\frac {MF-NE}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {ME-LF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}={\frac {MG-NF}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial u}}+{\frac {MF-LG}{LN-M^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial v}}}\)

kde \({\displaystyle E,F,G}\) jsou základní veličiny plochy prvního řádu a \({\displaystyle L,M,N}\) jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru \({\displaystyle \mathbf {r} }\).

\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u^{2}}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial u}}-2F{\frac {\partial F}{\partial u}}+F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {-F{\frac {\partial E}{\partial u}}+2E{\frac {\partial F}{\partial u}}-E{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+L\mathbf {n} }\)
\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial u\partial v}}={\frac {G{\frac {\partial E}{\partial v}}-F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial u}}-F{\frac {\partial E}{\partial v}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+M\mathbf {n} }\)
\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial v^{2}}}={\frac {-F{\frac {\partial G}{\partial v}}+2G{\frac {\partial F}{\partial v}}-G{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}+{\frac {E{\frac {\partial G}{\partial v}}-2F{\frac {\partial F}{\partial v}}+F{\frac {\partial G}{\partial u}}}{2(EG-F^{2})}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}+N\mathbf {n} }\)

kde \({\displaystyle E,F,G}\) jsou základní veličiny plochy prvního řádu a \({\displaystyle L,M,N}\) jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu \({\displaystyle E,F,G}\) a základními veličinami plochy druhého řádu \({\displaystyle L,M,N}\).

\({\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial E}{\partial v}}-{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial u}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial u}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial u}}&N\end{vmatrix}}=0}\)
\({\displaystyle (EG-2F^{2}+GE)\left({\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}\right)-(EN-2FM+GL)\left({\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)+{\begin{vmatrix}E&{\frac {\partial E}{\partial v}}&L\\F&{\frac {\partial F}{\partial v}}&M\\G&{\frac {\partial G}{\partial v}}&N\end{vmatrix}}=0}\)

Vlastnosti

\({\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial u}}\\{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}\end{pmatrix}}}\)

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost \({\displaystyle h=2}\) jsou regulárními body. Je-li hodnost matice \({\displaystyle h<2}\), pak jde o singulární body.

  • Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v \({\displaystyle \Omega }\) nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost \({\displaystyle h=2}\), pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články


Externí odkazy





Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 03:44:48 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto czwiki.org nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.